Minimo múltiplo comum - MMC

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.

Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural.

Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.

 

Múltiplos de um Número Natural e o seu MMC

Tomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:

{ 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... }

{ 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... }

{ 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }

Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles.

Temos então que:

MMC(6, 8, 12) = 24

 

Como descobrir o MMC de um conjunto de números?

 

Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos.

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.

Da fatoração destes três números temos:

6 = 2 . 3

8 = 23

12 = 22 . 3

O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.

O fator 2 é comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois é o que possui o maior expoente.

O fator 3 não é comum ao número 8, mas independente disto também deve ser considerado e como nos dois casos onde ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 6, quanto para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.

Logo:

MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24

 

Por Gabriel Vitor Barreto